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Loi logistique
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Paramètres
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réel
réel
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Support
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Espérance
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Médiane
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Mode
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Variance
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Asymétrie
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Kurtosis normalisé
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Entropie
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Fonction génératrice des moments
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![{\displaystyle {\rm {e}}^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c353da90f2573ee897eb49ff1eb0534431076e75) pour , Fonction bêta
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Fonction caractéristique
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![{\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70caaaf9e34fdd1d1f967b32a2bf1d8419fdd6) pour
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En probabilité et en statistiques, la loi logistique est une loi de probabilité absolument continue à support infini utilisé en régression logistique et pour les réseaux de neurones à propagation avant. Son nom de loi logistique est issu du fait que sa fonction de répartition est une fonction logistique.
La loi logistique a deux paramètres μ et s > 0 et sa densité est
![{\displaystyle f(x;\mu ,{s})={\frac {{\rm {e}}^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+{\rm {e}}^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84b3819bdddb1b0edb16561fb71fe4637ae5a35)
Sa fonction de répartition est
![{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661608de86509dc3fd2bdeab4c352c38835f7efe)
Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :
![{\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1e2db0e73738f6a9e8662cb0cfa8fc600c473a)
![{\displaystyle {\textrm {Var}}(X)={\frac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ca639a7392090e16516c774ac178876b8a01a8)
La loi logistique standard est la loi logistique de paramètres 0 et 1. Sa fonction de répartition est la sigmoïde :
![{\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e63556c29f3ea79183bb5555f92be99b649a3a)
Son espérance vaut alors 0 et sa variance π2/3.
- Si
alors
.
- Si
(loi uniforme continue) alors ![{\displaystyle \mu +\beta (\ln(X)-\ln(1-X))\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0678e17b20465223eccaeee6318906a096d3516)
- Si
(loi de Gumbel) alors
.
- Si
(loi d'extremum généralisée) alors
.
- Si
alors
.
- Si
alors son exponentielle suit une loi log-logistique :
, et
(loi log-logistique à trois paramètres)
- Si
(loi exponentielle) alors
![{\displaystyle \mu +\beta \ln({\rm {e}}^{X}-1)\sim \operatorname {logistique} (\mu ,\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5023c902bfc1181fdd26c3e9bfaac1cbff86c1c0)
- Si
alors
![{\displaystyle \mu -\beta \ln \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {logistique} (\mu ,\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8aa9f7fd5b1c19b953d1a8155cbd5d5384cbfe)
La loi logistique est aussi utilisée pour le classement Elo.